Định lý Pitago (Pythagoras theorem)

Định lý Pitago là một trong những định lý lâu đời nhất trong lịch sử toán học, là định lý cơ bản và quan trọng của hình học Euclid. Trong bài này tôi xin giới thiệu một vài chứng minh định lý và một số vấn đề liên quan đến định lý Pitago.

Định lý được phát biểu đơn giản như sau: Từ các cạnh của một tam giác vuông ta dựng các hình vuông, khi đó diện tích hình vuông lớn sẽ bằng tổng diện tích hai hình vuông nhỏ. Nếu ta gọi độ dài các hai cạnh góc vuông là a, b và độ dài cạnh huyền là c thì: c^2 = a^2 + b^2

Có rất nhiều cách chứng minh định lý Pitago được nêu ra từ lúc nó xuất hiện đến nay, các bạn cũng có thể tự mình chứng minh được bằng nhiều cách khác nhau. Ở đây tôi chỉ đưa ra một vài cách chứng minh bằng diện tích qua một số hình ảnh sau:

4 proof121 1

Ứng dụng nhiều nhất của định lý Pitago là dùng để tính toán các đại lượng hình học, trường hợp đơn giản nhất là tính toán độ dài cạnh còn lại của một tam giác vuông nếu biết độ dài hai cạnh kia.

Một vài ví dụ về áp dụng định lý Pitago để tính toán.

Ví dụ 1. Cho độ dài 3 cạnh của tam giác vuông, tính x.

5Ví dụ 2. Cho độ dài các cạnh của  hình chữ nhật, tính x.

7

Định lý Pitago còn dùng để tính độ dài của một đoạn thẳng khi biết tọa độ hai đầu mút, bằng công thức sau: AB = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}

8

Sử dụng định lý Pitago ta có thể chứng minh công thức đường trung tuyến của tam giác m_a^2 = \dfrac{1}{2}(b^2+c^2)-\dfrac{1}{4}a^2 như sau:

9

b^2-m_a^2 = HC^2 - MH^2, c^2-m_a^2=BH^2 - MH^2

b^2 + c^2 - 2m_a^2=(MC+HM)^2+(MB-MH)^2-2HM^2 = \dfrac{1}{2}a^2

m_a^2=\dfrac{1}{2}(b^2+c^2)-\dfrac{1}{4}a^2

Một trong những mở rộng của định lý Pitago là định lý cosin trong tam giác: “Cho tam giác ABC, đặt a = BC, b= AC, c= AB thì a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cos{A}“.

Có nhiều cách chứng minh cho định lý cosin, trong đó có một cách là dùng Pitago và tỉ số lượng giác.

10

Ta xét tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ đường cao BD (D thuộc cạnh AC). Khi đó

BC^2 = BD^2 + CD^2 = BD^2 + (AC-AD)^2 = BD^2 +AD^2 + AC^2 -2AD.AC

AD^2 + BD^2 = AB^2, AD = AB.\cos{A}

Do đó BC^2 = AC^2 + AB^2-2.AB.AC\cos{A}

Một số trường hợp riêng của định lý Cosin

- Nếu \angle A = 90 ta có định lý pitago

- Nếu \angle A = 60^o ta có BC^2 = AB^2 + AC^2 - AB.AC

- Nếu \angle A = 120^o ta có BC^2 = AB^2 + AC^2 + AB.AC

Một số ví dụ áp dụng

Ví dụ 3. Cho tam giác ABD đều cạnh 3a, D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BD = a. Đường trung trực của AD cắt AB tại P, AC tại Q. Tính theo a độ dài đoạn PQ.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. D là điểm thuộc cung nhỏ BC. Chứng minh rằng giá trị biểu thức DB^2 + DC^2 + DA^2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm D.

Định lý Pitago còn dùng để chứng minh một hệ thức lượng giác cơ bản: \cos(\alpha)^2+\sin(\alpha)^2 = 1.

Tiếp theo, ta sẽ sử dụng định lý Pitago để tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, mà cụ thể là hình tứ diện.

Bài toán. Cho hình chóp S.ABC biết hình chiếu của S trên AB là H, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cho SH = h, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là r, IH  = d. Tìm bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

5-ban kinh mat cau

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC. Ta có OI \bot (ABC). Khi đó OI song song SH, gọi K là hình chiếu của O trên SH thì OK = IH = d. (H thuộc đoạn HS hoặc nằm ngoài SH)

Đặt OI = x. Ta có OB^2 = IO^2 + IB^2 = x^2 + r^2 , OS^2 = OK^2 + KS^2 = d^2 + (h \mp x)^2

Từ đó ta có phương trình x^2 + r^2 = d^2 + (h \mp x)^2 . Giải phương trình ta sẽ tìm được x, từ đó suy ra R =\sqrt{x^2 + r^2}

Ngoài cách tổng quát trên, có một số trường hợp riêng.

Trường hợp 1. H trùng I, khi đó O là giao điểm đường trung trực SA và SH.

Trường hợp 2. H trùng đỉnh của tam giác ABC. Khi đó x = \dfrac{h}{2}

Định lý Pitago còn nhiều ứng dụng khác, và các mở rộng khác, tuy nhiên trong bài này chỉ nêu một vài ứng dụng cơ bản và quen thuộc trong chương trình phổ thông.

Chủ đề tiếp theo: Tam giác và các hình vuông dựng trên cạnh

About these ads

Gửi phản hồi

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s