Tam giác và các hình vuông dựng trên cạnh.

Từ lúc học lớp 8, ba tôi có đố tôi bài toán này mà lúc đó tôi giải không ra

Bài toán 1. Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE và ACFG. Chứng minh rằng các đường thẳng CD, BF và đường cao AH của tam giác ABC đồng quy.

Bài toán này hay và xuất hiện trong hầu hết các sách tham khảo lớp 8, hồi ba tôi học lớp 8 chắc cách đây 50 năm rồi, vậy là nó đã có từ rất lâu. Tất nhiên lúc đó tôi giải không được với kiến thức của mình, sau khi được hướng dẫn vẽ thêm tôi mới làm được.

1

Cách giải: Dựng hình bình hành AEPG, ta chứng minh P, A, H thẳng hàng và BF, CD và PH là ba đường cao của tam giác PBC.

Kĩ năng chứng minh tam giác bằng nhau, so sánh góc và chứng minh hai đường thẳng vuông góc là quen thuộc và cần thiết trong chương trình thcs, tuy nhiên để vẽ thêm được ra điểm P thì khó, chỉ có thể suy luận từ việc nếu 3 đường đồng quy thì nó có thể là 3 đường đặc biệt của tam giác nào đó, trong trường hợp này là 3 đường cao.

2Ta thấy vai trò của tam giác AEF là tương tự đối với tam giác ABC, từ đó ta có thêm các tính chất sau:

Tính chất 1: Trung tuyến AM của tam giác ABC vuông góc với EG và có độ bằng nửa độ dài EG

Tính chất 2: Các đường thẳng EC, GD và trung tuyến AM của tam giác ABC đồng quy.

Một tính chất nhỏ và dễ thấy là BG và CE là hai đoạn thẳng bằng nhau và vuông góc nhau. Từ đây nếu ta gọi O_a, O_b, O_c là tâm các hình vuông ABCD, ACFG, BCPQ thì ta có thêm các tính chất sau:

Tính chất 3: Tam giác O_bMO_c vuông cân tại M.

Tính chất 4: Các đường thẳng AO_a, BO_b, CO_c đồng quy tại X

3

Để chứng minh tính chất 3, ta chỉ cần chứng minh MO_b song song và bằng nửa BG, MO_c song song và bằng nửa CE.

Với tính chất 4, để chứng minh 3 đường đồng quy, ta chứng minh 3 đường thẳng đó là 3 đường cao của tam giác O_aO_bO_c

Từ tính chất 3, nếu gọi N là trung điểm EG, ta có tam giác O_bNO_c cũng là vuông cân. Khi đó ta có

Tính chất 5. Tứ giác MO_bNO_c là hình vuông.

Các tính chất 1- 5 với các chứng minh khá sơ cấp, chủ yếu là chứng minh các tam giác bằng nhau và các em lớp 8 hoàn toàn có thể giải quyết được.

Sau đây là một số tính chất mà chứng minh cần dùng đến tứ giác nội tiếp.

5

Gọi A’ là giao điểm của CE và BG, khi đó ta có EC và BG vuông góc nhau tại A’. Từ đó ta có A’ thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABDE, ACFG và thuộc đường tròn đường kính BC. Từ đây ta có thêm các tính chất sau:

Tính chất 6: Các đường thẳng DF, BG, CE, AO_a đồng quy tại một điểm A'.

Trong tính chất 4, ta có AO_a, BO_b, CO_c đồng quy, hơn nữa qua cách chứng minh tính chất 4 ta có CO_c = O_aO_b, mặt khác áp dụng định lý con nhím ta có tính chất sau:

Tính chất 7: O_aO_b = CO_c, O_aO_c=BO_b, O_bO_c = AO_a và tam giác O_aO_bO_c có cùng trọng tâm với tam giác ABC

Gọi B' là giao điểm của GQ và DF, A' là giao điểm của EP và GQ, C' là giao điểm của DF và EP. Khi đó ta tam giác A'B'C' có các cạnh song song với tam giác O_aO_bO_c. Hơn nữa ta có tính chất sau:

Tính chất 8: XA', XB', XC' lần lượt vuông góc với BC, AC, ABA'O_a, B'O_b, C'O_c đồng quy.

8

Để kết thúc bài viết xin đưa ra các tính chất sau:

Tính chất 9: Đường thẳng AA' đi qua trung điểm của B'C'

Tính chất 10: BB' đi qua tâm của hình vuông dựng trên đoạn GF (đối xứng với O_b qua FG.

9

Tính chất 11: Gọi H' là trực tâm tam giác A'B'C' và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó O, X, H' thẳng hàng.

10

Tính chất 11 hay và là kết quả mới nhưng tôi chưa thể chứng minh được, các bạn thử chứng minh xem sao.

Các chứng minh trên chỉ sử dụng các kiến thức khá đơn giản, ngoài ra để chứng minh các đoạn thẳng và các đường vuông góc ta có thể sử dụng phép quay, hoặc chứng minh các đường đồng quy ta sử dụng định lý Ceva dạng sin.

Ngoài những tính chất vừa nêu, còn những tính chất thú vị khác từ mô hình này, các bạn hãy tự khám phá nhé.

Gửi phản hồi

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s