Bài toán liên quan đến đường tròn nội tiếp

Ngoài các định lý quan trọng của hình học phẳng như: Định lý đường tròn chín điểm, định lý về đường thẳng Simson,…có một số bài toán hình học với tính chất hay và thường được sử dụng để giải các bài toán khác. Trong bài viết nhỏ này, tôi xin giới thiệu một bài toán như thế.
Bài toán 1. Cho tam giác ABC (khác tam giác cân), đường tròn tâm I nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh BC, AB và AC lần lượt tại D, E, F. Gọi P, Q là giao điểm của BI, CI với đường thẳng EF.

a) Chứng minh \angle BPC = \angle BQC = 90^o.

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Chứng minh P, N, M thẳng hàng.

Lời giải.

1

Ta có \angle PEC = \angle AEF = 90^o -\dfrac{1}{2} \angle A

\angle PIC = \angle IBC + \angle ICB = \dfrac{1}{2} \angle B + \dfrac{1}{2} \angle C = 90^0 - \dfrac{1}{2} \angle A

Do đó \angle PEC = \angle PIC,suy ra tứ giác PECI nội tiếp, từ đó ta có \angle IPC = \angle IEC = 90^o

Chứng minh tương tự thì \angle CQB = 90^o.

b) Chỉ cần chứng minh MN và PN cùng song song với AB.

Nếu kéo dài BQ và CP cắt nhau tại T. Khi đó I là trực tâm của tam giác TBC và đường tròn ngoại tiếp tam giác DPQ là đường tròn Euler của tam giác TBC. Từ nhận xét này ta có những tính chất khác liên quan đến đường tròn Euler, tới đây ta có lời giải cho bài toán sau:

Bài toán 2. (VMO 2009) Trong mặt phẳng cho hai điểm A và B cố định (A khác B). Một điểm C di động trên mặt phẳng sao cho \angle ABC = \alpha ( 0^o < \alpha < 180^o). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. AI, BI cắt EF tại M, N.

a)     Chứng minh NM có độ dài không đổi.

b)     Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố định khi C lưu động.

Rõ ràng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN là đường tròn Euler nên nó đi qua trung điểm cạnh BC.

Bài toán 3. (VMO 2013) Cho tam giác ABC có BC cố định, A thay đổi sao cho \dfrac{AB}{AC} = k (không đổi). Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, AC và AB lần lượt tại D, E, F. Gọi M, N là giao điểm của EI, FI với (I). Đường thẳng MN cắt BI, CI tại P và Q. Chứng minh rằng đường trung trực của PQ đi qua một điểm cố định.

2

Nhận xét:  Ta thấy rằng N, M đối xứng với E, F qua I. MN song song với EF, và P, Q là các điểm thuộc BI, CI. Từ đó ta có thể kéo dài BI, CI cho cắt EF tại G, H. Ta thấy được “hình dáng” của bài toán 1. Đến đây có lẽ lời giải cũng không còn quá khó nữa.

Lời giải. Ta thấy P, Q lần lượt là điểm đối xứng của H, G qua I. Vì G, H thuộc đường tròn đường kính BC, nên trung trực GH qua trung điểm K của BC. Gọi U, V là trung điểm GH và PQ, AI cắt BC tại L ta có L cố định. Khi đó I là trung điểm của UV. Cho đường trung trực của PQ cắt BC tại D. Dễ thấy D là điểm đối xứng của K qua L, mà K, L cố định nên D cố định.

Bài toán 4. Cho tam giác ABC. D là điểm thay đổi trên tia đối của tia CB. Gọi (I) và (J) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác DAC và DAB. Chứng minh rằng trục đẳng phương của (I) và (J) luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải.

3

Gọi E,E’ là các tiếp điểm của (I), (J) với đt BC; F, F’ là các tiếp điểm của (I), (J) với DA. Ta có trục đẳng phương (d) của (I) và (J) qua trung điểm của EE’ và FF’. Gọi P là giao điểm của BI và EF, theo bài toán 1 ta có \angle APB = 90^o và P thuộc đường thẳng qua trung điểm cạnh AB và AC, do đó P là điểm cố định. Tương tự, nếu Q là giao điểm của CI và E’F’ thì Q cũng là điểm cố định.

Cuối cùng, ta thấy d qua trung điểm của EF và E’F’ nên d cũng qua trung điểm T của PQ, mà P, Q cố định nên T cố định. Bài toán được giải quyết.

Đây là bài toán khó vì điểm cố định khó đoán và không có tính chất gì đặc biệt, các giả thiết liên quan đến tâm nội tiếp nên bài toán 1 có thể được chúng ta nghĩ đến, từ đó có hướng giải cho bài toán trên.

Trên đây chỉ là một vài trường hợp để ta thấy rằng, các bài toán luôn ta mới gặp có một mối quan hệ nào đó với những bài toán, những tính chất ta đã biết. Khi tìm lời giải, ta cố gắng suy luận và liên hệ với những kiến thức quen thuộc để có hướng giải quyết thích hợp.

Gửi phản hồi

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s