Lời giải bài hình TST 2013 (Ngày thi thứ hai)

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn không cân có \angle BAC = 45^o. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại trực tâm H. Đường thẳngEF  cắt đường thẳng BC tại P. Gọi I
trung điểm của BC ; IF  cắt PH tại Q.

a) Chứng minh rằng \angle IQH=\angle AIE.
b) Gọi K là trực tâm của tam giác AEF;(J) là đường tròn ngoại tiếp tam giác KPD. CK cắt đường tròn (J) tại G; IG cắt (J) tại M; JC cắt đường tròn đường kính BC tại N. Chứng minh rằng G; N; M;C  cùng thuộc một đường tròn.

ngay 2

Lời giải.

Mấu chốt của bài toán là tính chất điều hòa của hàng điểm B, C, D, P.

a) Ta có PF.PE = PB.PC = PD.PI suy ra P thuộc trục đẳng phương của đường tròn đường kính AH và đường tròn đường kính IH, do đó PH là trục đẳng phương của hai đường tròn trên. Nếu gọi U, V là tâm của hai đường tròn trên thì ta có PH \bot UV mặt khác UV//AI , suy ra PH \bot AI.

Hơn nữa, do \angle BAC = 45^o nên \angle FIE = 90^o. Từ đó ta có \angle HQI = \angle AIE vì cùng phụ với \angle QIA

b) Dễ thấy trực tâm K của tam giác AEF chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và K thuộc đường tròn đường kính BC.

Do B, C, D, P là hàng điểm điều hòa và I là trung điểm của BC nên: IM.IG = ID.IP = IC^2. Suy ra tam giác IMC và tam giác ICG đồng dạng. Suy ra \angle IMC = \angle ICG = 45^o (1)

Gọi T là trung điểm của PD. Khi đó CB.CT = CD.CP = CK.CG suy ra tứ giác GTBK nội tiếp và \angle GTD = 90^o. Từ đó G, J, T thẳng hàng và \angle KGJ = 45^o.

Mặt khác CN.CJ = CB.CT = CK.CG suy ra tứ giác KNJG nội tiếp và \angle JNG = \angle JKG = \angle JGK = 45^o. (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, M, N, G cùng thuộc một đường tròn.

Gửi phản hồi

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s