Bài hình TST (ngày thứ nhất)

Lời giải bài hình thi chọn đội tuyển quốc gia năm 2013:

Đề bài. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối không song song nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi E là giao điểm hai đường chéo, phân giác góc AEB cắt các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q.

a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AQM, BMN, CNP, DPQ cùng đi qua một điểm K

b) Đặt min\{AC, BD\} = m. Chứng minh rằng OK \leq \dfrac{2R^2}{\sqrt{4R^2-m^2}}

Lời giải.

ngay 1

Bổ đề. Cho hai đoạn thẳng ABCD sao cho ABCD không là hình thang. Khi đó có một phép vị tự quay tâm O biến AB thành CD. Nếu P là giao điểm của ABCD, Q là giao điểm của ADBC thì các tứ giác ADPK, BCPK, ABQK, CDQK nội tiếp.

Trở lại bài toán. Gọi V là giao điểm của AB và CD, U là giao điểm của AD và BC.

a) Xét phép vị tự quay biến AB thành DC. Gọi K là tâm của phép vị tự quay đó, ta có K thuộc đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCV, ADV, ABU, CDU. (1)

Mặt khác do M thuộc AB, P thuộc AC và  \dfrac{MB}{PC}=\dfrac{AM}{DP} nên phép vị tự quay trên cũng biến AM thành DPMB thành PC. Từ đó ta cũng có K thuộc đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMQ, DPQ, MBP, CPN. (2)

Từ (1) và (2) ta có các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AQM, BMN, CNP, DPQ cùng đi qua một điểm K

b) Ta có \angle AKU = \angle ABU = \angle ADV\angle ADV + \angle AKV = 180^0 nên \angle AKU + \angle AKV = 180^o. Do đó U, K , V thẳng hàng.

Hơn nữa \angle UKA + \angle VKC = \angle ABU + \angle CBV =2 \angle ADC = \angle AOC. .Do đó AOCK nội tiếp, tương tự thì DOBK nội tiếp. Mà EA.EC = EB.ED nên E thuộc trục đẳng phương của (DOBK)(AOCK), từ đó O, E, K thẳng hàng và OE.OK = OA^2 = R^2, suy ra OK = \dfrac{R^2}{OE}.

Gọi H, T là hình chiếu của O trên AC và BD. Ta có OE \geq OH, OT, mà OH = \sqrt{R^2-\dfrac{AC^2}{4}}, OK = \sqrt{R^2-\dfrac{BD^2}{4}}, suy ra OE \geq \sqrt{R^2-\dfrac{m^2}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4R^2-m^2}

Từ đó ta có OK \leq \dfrac{2R^2}{\sqrt{4R^2-m^2}}

Gửi phản hồi

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s