Góc định hướng

Chúng ta vẫn giải các bài toán hình học bằng định nghĩa góc hình học, và một số bài toán thì lời giải phụ thuộc vào hình vẽ khá rắc rối. Nếu ta sử dụng khái niệm góc định hướng thì cho lời giải ngắn gọn, rõ ràng và không phụ thuộc vào hình vẽ. Hơn nữa, góc định hướng giúp định nghĩa các phép biến hình, từ đó mở ra những ứng dụng khác.

Trong SGK hình học 10 có định nghĩa khá rõ ràng về góc định hướng (hay góc lượng giác) của hai tia và hai đường thẳng, ở đây xin không nhắc lại, chỉ nêu một vài tính chất quan trọng giúp ích cho việc giải toán.

Tính chất 1. Hệ thức Charles

a) Cho a, b, c là ba đường thẳng bất kì thì (a,b) = (a,c) + (c,b) (\mod \pi )

b) Cho Ox, Oy, Oz là ba tia thì (Ox, Oy) = (Ox, Oz) + (Oz, Oy) (\mod 2\pi)

Tính chất 2. (Điều kiện 3 điểm thẳng hàng) Cho 3 điểm A, B, C và đường thẳng d. Khi đó A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi (AB, d) = (AC, d) (\mod \pi)

Tính chất 3. (Điều kiện 4 điểm đồng viên) Cho 4 điểm A, B, C, D. Khi đó A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi (AC, AD) = (BC, BD) (\mod \pi)

Tính chất 4. Nếu $latex a $ là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng b, c thì (b, a) = -(c, a) = \dfrac{1}{2} (b, c) (\mod \dfrac{\pi}{2})

Tính chất 5. Nếu aa' đối xứng nhau qua đường thẳng d thì (a,d) = - (a', d) (\mod \pi).

Tính chất 6. Nếu a' là ảnh của a qua phép quay với góc quay \alpha thì (a, a') = \alpha (\mod \pi)

Áp dụng các tính chất trên, ta sẽ giải một số bài toán sau.

Bài 1. (Định lý Migel) Cho tam giác ABC; Gọi D, E, F lần lượt là các điểm thuộc các đường thẳng BC, ACAB.

a)     Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AEF, BFE, CDE cùng đi qua một điểm M.

b)     Nếu D, E, F thẳng hàng thì điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC; hơn nữa tâm các đường tròn (ABC), (AEF), (BFE), (CDE) cùng thuộc một đường tròn và đường tròn đó qua M.

Lời giải.

1-migel

a) Gọi M là giao điểm của (AEF)(BDF), ta chứng minh C, D, E, M đồng viên.

Ta có (EM;EC) = (EM; EA) = (FM; FA) (\mod \pi) (Do A, E, M, F đồng viên)

(FM, FA) = (FM; FB) = (DM; DB) (\mod \pi ) (Do D, M, F, B đồng viên)

Suy ra (EM; EC) = (DM; DB) = (DM; DC) (\mod \pi)

Do đó M, E, C, D đồng viên.

b)

2

Ta có (AM; AF) = (EM; EF) (\mod \pi), (AM; AF) = (CM; CB) (\mod \pi) (CM; CB) = (EM; ED) (\mod \pi).

Do đó E, D, F thẳng hàng khi và chỉ khi (EM; EF) = (EM; ED) khi và chỉ khi (AM; AF) = (CM; CB) khi và chỉ khi A, B, C, M đồng viên.

Gọi O, O_a, O_b, O_c lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AEF, BDF, CDE. Ta chứng minh O, M, O_a, O_b, O_c đồng viên.

Thật vậy ta có (O_aM; O_aO_b) = (EM; EF) = (CM; CD) = (OM; OO_b) (\mod \pi). Do đó O_a, M, O, O_b đồng viên. Tương tự O_a, M, O, O_c đồng viên. Suy ra điều cần chứng minh.

Bài 2.(Định lý Steiner)

a)     Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là một điểm thuộc (O). Gọi $latex A’, B’, C’ $ lần lượt là điểm đối xứng của M qua BC, AC, AB. Chứng minh rằng A', B', C' cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó qua trực tâm H của tam giác ABC.

b)     Ngược lại lấy d là một đường thẳng qua H. Gọi d_a, d_b, d_c lần lượt là các đường thẳng đối xứng của d qua BC, AC, AB. Chứng minh rằng d_a, d_b, d_c đồng qui tại một điểm thuộc đường tròn (O).

Lời giải

3

Gọi H_c, H_b là điểm đối xứng của H qua AB; AC. Ta có H_c, H_b \in (ABC)

a) (HC'; HB') = (HC'; HA) + (HA; HB') = - (H_cM; HA) - (H_bA; H_bM) = 0 (\mod \pi)

Vậy H, B', C' thẳng hàng.

b) 4

Ta thấy H_a \in d_a, H_b \in d_b. Gọi M là giao điểm của d_a, d_b. Ta chứng minh M \in (ABC) .
Ta có:

(MH_a; MH_b) = (A'H_a; A'C) + (A'C; CA) + (CA; MH_b)

= -(A'H; BC) + (CB;CA) - (CA; B'H)

= (BC; A'H) + (B'H; CA) + (CB; CA)

= 2(BC; CA) (\mod \pi)

= (CH_a; CH_b) (\mod \pi)

Do đó M \in (ABC).

Bài 3. Cho hai hình vuông ABCDAEFG cùng hướng, A, B, E không thẳng hàng. Chứng minh rằng BE, CF, DG đồng quy.

Lời giải.

5Xét phép quay tâm A góc quay (AB; AD) = 90^o. Khi đó B biến thành D, E biến thành G. Gọi H là giao điểm của BE và GD. Khi đó (BE; GD) = (AB; AD) = (CB;CD) = 90^o (\mod \pi). Suy ra A, H, B, C, D đồng viên.

Từ đó ta có (HB; HC) = (AB;AC) (\mod \pi)

Hơn nữa, (HG; HE) = (AG; AE) = 90^o (\mod \pi) nên A, E, H, G, F cũng đồng viên. Suy ra (HE; HF) = (AB; AC) (\mod \pi)

Ta có (HB; HC) = (HE; HF) (\mod \pi)H, E, B thẳng hàng nên H, C, F thẳng hàng, hay BE, CF, DG đồng quy.

Bài tập rèn luyện.

Bài 1 (VMO 2006) Cho tứ giác lồi ABCD. Xét một điểm M di động trên đường thẳng AB sao cho M không trùng với A và B. Gọi N là giao điểm thứ hai khác M của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, C và đường tròn đi qua 3 điểm M, B, D. Chứng minh:

a)     Điểm N di động trên một đường tròn cố định.

b)     Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp một đường tròn. Gọi P, Q, R, S là giao điểm của các đường phân giác ngoài của các góc ADB và ADB, DAB và DBA, ACD và  ADC, DAC và DCA tương ứng. Chứng minh rằng P, Q, R, S đồng viên.

Bài 3. Cho tứ giác ABC. Chứng minh rằng đường tròn Euler của các tam giác ABC, ACD, ABD và BCD cùng đi qua một điểm.

Bài 4. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng qua A cắt (O) và (O’) tại M và N. Một đường thẳng qua B cắt (O) và (O’) tại P và Q. Chứng minh MP//NQ.

 

 

 

 

Gửi phản hồi

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s