Một số bài toán hình ôn thi vào chuyên toán

Chỉ còn hơn một tháng nữa là các em lớp 9 bước vào kì thi tuyển sinh vào lớp 10 đầy cam go, thời điểm này là lúc ôn luyện tốt nhất khi chỉ tập trung vào các môn thi tuyển. Nhân đây hinh99  xin gửi đến các bạn một số bài toán hình để các bạn có thêm một nguồn bài tập tham khảo để chuẩn bị tốt hơn cho kì thi sắp tới. Vì thời gian không được nhiều nên mỗi lần chỉ xin được đăng một bài kèm với hướng dẫn giải.

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn tâm E thay đổi luôn qua A và O, (E) cắt AB và AC tại P và Q.

a)     Tìm vị trí của điểm E để PQ có độ dài nhỏ nhất.

b)     Gọi H là hình chiếu của O trên PQ. Chứng minh rằng H thuộc một đường thẳng cố định.

c)      Gọi K là trực tâm của tam giác OPQ. Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định.

Hướng dẫn giải.

cac bai toan on thi vao lop 10 chuyen toan

Những bài toán có yếu tố di động khi giải đôi khi ta phải để ý tới những trường hợp đặc biệt, từ các trường hợp riêng đó ta dự đoán kết họp với kiến thức đã biết để giải quyết bài toán.

Đối với bài toán này thì khi xét E thuộc OA khi đó P, Q lần lượt là trung điểm N, M của AB, AC, và hai điểm này là hai điểm cố định. Từ đây ta có thể có một hướng để tiếp cận bài toán.

a) Gọi M, N là trung điểm AC và AB.

Cách 1: Chứng minh \Delta OPQONM đồng dạng, từ đó suy ra PQ \geq MN. (Tam giác OPQ luôn đồng dạng với chính nó khi E thay đổi, nên PQ nhỏ nhất khi OP nhỏ nhất).

Cách 2: Ta để ý \angle PAQ không đổi, ta chứng minh được PQ = 2EP \sin{PAQ}, từ đó suy ra PQ nhỏ nhất khi EP nhỏ nhất mà EP \geq \dfrac{1}{2}OA.

b) Cũng dựa vào trường hợp đặc biệt, ta có thể đoán được H thuộc MN. Tới đây ta thấy tứ giác APOQ nội tiếp, N, M, H là hình chiếu của O trên AP, AQ và PQ nên H, N, M thẳng hàng. (Đường thẳng Simson của điểm O ứng với tam giác APQ).

c) Ta chứng minh được các tứ giác OPBK, OQCK nội tiếp. Từ đó suy ra B, K, C thẳng hàng hay K thuộc đường thẳng BC cố định.

Bài toán tương tự.

Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là điểm thay đổi trên cung BC không chứa A. Gọi P và Q là hình chiếu của A trên DB và DC.

a)     Chứng minh tam giác APQ luôn đồng dạng với một tam giác cố định. Tìm vị trí của D để PQ lớn nhất.

b)     Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm cố định.

c)      Gọi M là trung điểm PQ. Chứng minh M luôn thuộc một đường cố định.

Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O) tại C, cắt (O’) tại D (C, D khác A, A nằm giữa C và D). Tiếp tuyến tại C của (O) và tiếp tuyến tại D của (O’) cắt nhau tại P.

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD luôn đi qua một điểm cố định.

b) Tìm vị trí của cát tuyến để CD đạt giá trị lớn nhất.

b) Gọi H, K là hình chiếu của B trên PC và PD. Chứng minh rằng HK luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

2 thoughts on “Một số bài toán hình ôn thi vào chuyên toán

  1. Pingback: Một số bài toán hình ôn thi vào chuyên toán | Đoàn thuyền đánh cá lại ra khơi…

Gửi phản hồi

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s