Một số bài toán hình ôn thi vào lớp 10 chuyên toán (tt)

Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C thuộc (O) sao cho AC < AB. Gọi D là hình chiếu của C trên AB, E, F lần lượt là hình chiếu của D trên BC và AC.

a) Chứng minh AFEB nội tiếp. Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFEB. Chứng minh KO = \dfrac{1}{2} CD

b) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính CD với (O). Chứng minh P, D, K thẳng hàng.

c) Gọi Q là giao điểm của CP và EF. Chứng minh Q thuộc đường thẳng BC.

Hướng dẫn giải.

2

a) Chứng minh CF.CA = CE.CB, suy ra AFEB nội tiếp. Gọi K là tâm đường tròn, H  là trung điểm AD. Khi đó KO, KH lần lượt là trung trực của AB và EF. Suy ra KO \bot AB, KH \bot EF. Mặt khác AH \bot AB, OC \bot EF. Từ đó suy ra OCHK là hình bìn hành, ta có điều cần chứng minh.

b) Chứng minh DP và DK cùng vuông góc với AP.

c) Trước hết ta chứng minh tứ giác QPFA nội tiếp.

Ta có \angle QPA = \angle CBA = \angle QFA ( do APCB và AFEB nội tiếp). Suy ra QPFA nội tiếp. Khi đó \angle FAQ = \angle CPF\angle CPF + \angle CEF = 180^0\angle CEF = \angle FAB nên \angle FAQ = \angle FAB = 180^o. Do đó Q, A, B thẳng hàng hay Q thuộc đường thẳng AB.

Nhận xét. Đây là một bài toán hay vì mô hình khá đẹp và có nhiều tính chất thú vị. Ở đây có hai tính chất bất biết khá quan trọng là CHOK là hình bình hành và 3 đường thẳng CP, EF, AB đồng quy. Từ tính chất bất biến này người ta có thể thay đổi đề bài, thêm vào các yếu tố di động để làm mới bài toán và gây khó khăn hơn cho người học. Và tam giác ABC vuông cũng chỉ là trường hợp đặc biệt, vì đây chính là mô hình của định lý Migel nổi tiếng. Chúng ta cùng làm một số bài toán tương tự sau:

Bài 5. Cho đường tròn (O) tâm O và đường kính AB = 2R. Gọi C là điểm thay đổi trên đường tròn sao cho tam giác CAB khác tam giác cân. Vẽ đường cao CD của tam giác ABC, gọi E, F là hình chiếu vuông góc của D trên AC, BC.

a) Tính theo R diện tích tam giác CEF và tính KE, KF trong trường hợp \angle CAB =60^o.

b) Hạ EP, FQ vuông góc với AB. Chứng minh rằng đường tròn đường kính PQ tiếp xúc với đường thẳng EF.

c) Gọi G là giao điểm của đường tròn đường kính CD và (O) (G khác C). Chứng minh rằng giao điểm của CG và EF luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = b, AC = c. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM cắt cạnh AC tại N.

a) Chứng minh rằng tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB và tính \dfrac{MA}{MB} để diện tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Chứng minh I luôn thuộc một đường thẳng cố định.

c) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. Chứng minh JI luôn có độ dài không đổi khi M thay đổi trên cạnh AB.

3 thoughts on “Một số bài toán hình ôn thi vào lớp 10 chuyên toán (tt)

  1. Pingback: Một số bài toán hình ôn thi vào lớp 10 chuyên toán (tt) | Đoàn thuyền đánh cá lại ra khơi…

  2. H

    Cho tam giác ABC nội tiếp (O), M bất kì nằm trong tam giác. AM,BM,CM cắt (O) tại A’,B’,C’. Gọi Oa; Ob; Oc là tâm ngoại tiếp các tam giác MB’C’, MA’C’, MA’B’.
    a/Chứng minh AOa; BOb và COc đồng quy tại 1 điểm K thuộc (O).
    b/Trung trực MA’ cắt BC tại A”. Định nghĩa tương tự với B”, C”. Gọi S là giao điểm của KM với (O). Chứng minh A”,B”,C” cùng thuộc trung trực MS.

Gửi phản hồi

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s