Đề thi đội tuyển PTNK năm 2013 – Ngày thứ nhất: Bài 4

Tam giác ABCB, C cố định còn A di động sao cho AB = AC\angle BAC > 60^o. Đường thẳng đối xứng với BC qua AB cắt AC tại P. Trên đoạn PC lấy điểm M sao cho PM = PB. Gọi N là giao điểm của AB với phân giác ngoài của góc BCA. Chứng minh MN luôn qua một điểm cố định.
Lời giải.

de thi chon doi tuyen nam 2013 - ngay thu nhat

Bài này có nhiều cách tiếp cận khác nhau, nhưng mấu chốt là phải chứng minh được BM là tia phân giác của $\angle ABC$.

Cách 1: Ta có \angle PBA = \angle CBA = \angle PCA, PBM = \angle PBA + \angle ABM, \angle PMB = \angle BCA + \angle CBM. Mà tam giác PBM cân tại P nên từ đó ta có \angle ABM = \angle CAM. Gọi D là giao điểm của BMCN. Trong tam giác ABCADCN là phân giác của A và góc ngoài góc C nên AD cũng là phân giác góc ngoài góc A. Suy ra AD // BC. Xét hình thang ADCB, góc N, M lần lượt là giao điểm của hai cạnh bên và hai đường chéo nên MN đi qua trung điểm của BC(Bổ đề hình thang). \square.

Cách 2: Dùng Menelaus.

Do BM, CN là phân giác góc B và C nên.

AM/MC = AB/BC = AC/BC = NA/NB

Gọi H là trung điểm BC ta có \dfrac{HB}{HC}. \dfrac{MC}{MA}.\dfrac{NA}{NB} = 1. Do đó H, M, N thẳng hàng.

Cách 3. Tiếp cận bằng hàng điểm điều hòa.

Gọi H là giao điểm của MN và BC. Khi đó để chứng minh M là trung điểm BC, ta có thể vẽ một đường thẳng song song với BC và chứng minh chùm điều hòa. Vẽ NQ//BC, Q \in AC. Khi đó BCNQ là hình thang cân, suy ra $BQ$ cũng là phân giác ngoài góc B. Khi đó Q, M, A, C là hàng điểm điều hòa. Hay N(Q, M, A, C) là chùm điều hòa. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Gửi phản hồi

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s